Τρισδιάστατη Χάραξη Οδού Με Εφαρμογή Διαφορικής Γεωμετρίας Και Καμπυλών Παρεμβολής B-Spline

Abstract

Αντικείμενο της παρούσας εργασίας αποτελεί η ανάπτυξη ενός μαθηματικού μοντέλου που να καθιστά εφικτή την τρισδιάστατη χάραξη οδού. Δηλαδή, δε θα χρειάζεται, η ξεχωριστή μελέτη της οριζοντιογραφίας και της μηκοτομής πλέον, αφού η ανάλυση γίνεται απευθείας, στον χώρο των τριών διαστάσεων. Η μελέτη πραγματοποιήθηκε με τη χρήση του λογισμικού Mathematica . Στόχος της εργασίας αποτέλεσε αρχικά, η μαθηματική αρτιότητα (θεωρητικά) του μοντέλου που κατασκευάστηκε, στη συνέχεια η υλοποίηση όλων των συναρτήσεων σε κώδικα μέσω της γλώσσας προγραμματισμού που προσφέρει το Mathematica (βασίζεται στη C++ ) και τελικά η εφαρμογή του μοντέλου σε έναν πραγματικό δρόμο κατά την περίπτωση μελέτης. Για την μαθηματική τεκμηρίωση του μοντέλου, χρησιμοποιήθηκαν όλες εκείνες οι γνώσεις από τον κλάδο της Διαφορικής Γεωμετρίας που αναφέρονται στη μελέτη καμπυλών και επιφανειών. Ως προς την τελική υλοποίησή του, οι καμπύλες που αξιοποιήθηκαν για τον ορισμό του άξονα της οδού, είναι οι καμπύλες B-Spline(σύνθετες καμπύλες Bezier). Ουσιασικά, ορίζεται ένας προσωρινός άξονας της οδού (πρώτη προσέγγιση της οδού) και στη συνέχεια αυτός μεταβάλλεται. Η μεταβολή της πρώτης προσέγγισης του άξονα της οδού, εξαρτάται κυρίως από τα όρια που τίθενται ως προς την καμπυλότητα και την κατά μήκος κλίση της οδού. Αξίζει να σημειωθεί ότι η καμπυλότητα αναλύεται σε δύο συνιστώσες που δεν είναι άλλες από τη γεωδαισιακή καμπυλότητα και την κάθετη καμπυλότητα. Όσον αφορά τη γεωδαισιακή καμπυλότητα, αυτή αντιστοιχεί διαφορικά, στην οριζοντιοραφική καμπυλότητα με την ευρύτερη έννοια. Δηλαδή, αντιστοιχεί στην καμπυλότητα που έχει η καμπύλη αν προβληθεί σε επίπεδο που είναι ‘’εφαπτόμενο’’ σε εκείνη. Έτσι, η αριθμητική τιμή (θετική ή αρνητική) της γεωδαισιακής καμπυλότητας υπολογίζεται ως η αριθμητική προβολή του διανύσματος καμπυλότητας σε ένα μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της καμπύλης που είναι παράλληλο σε σχέση με τον ορίζοντα. Ως προς την κάθετη καμπυλότητα, επιβάλλονται διαφορετικά όρια ως προς τη θετική κάθετη καμπυλότητα και την αρνητική κάθετη καμπυλότητα. Συγκεκριμένα, η θετική κάθετη καμπυλότητα αντιστοιχεί σε κυρτές καμπύλες κατά την έννοια της μηκοτομής, ενώ η αρνητική κάθετη καμπυλότητα αντιστοιχεί σε κοίλες καμπύλες. Η αριθμητική τιμή (θετική ή αρνητική) της κάθετης καμπυλότητας υπολογίζεται ως η αριθμητική προβολή του διανύσματος καμπυλότητας στο μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της καμπύλης. Ως μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της καμπύλης ορίζεται εκείνο το διάνυσμα που προκύπτει ως το εξωτερικό γινόμενο του μοναδιαίου εφαπτόμενου διανύσματος και του μοναδιαίου κάθετου διανύσματος της καμπύλης που είναι παράλληλο σε σχέση με τον ορίζοντα. Ο μορφή του άξονα της οδού προσδιορίζεται τελικά, μέσω της καμπυλότητας και της στρέψης της καμπύλης (θεμελιώδες θεώρημα καμπυλών), ενώ η ορθή ένταξή του στον χώρο επιτυγχάνεται μέσω του μετασχηματισμού στερεού σώματος του Προκρούστη. Για τον ορισμό της επιφάνειας της οδού, ορίζεται μία ευθειογενής επιφάνεια που έχει ως οδηγό καμπύλη την τελική καμπύλη B-Spline που αντιστοιχεί στον άξονα της οδού. O άξονας της οδού μαζί με όλες εκείνες τις καμπύλες που είναι παράλληλες στον άξονα και εκτείνονται εκατέρωθέν του σε απόσταση μέχρι και το ημιπλάτος της οδού, αποτελούν τις u-παραμετρικές καμπύλες της επιφάνειας της οδού. Οι γέννετειρες της ευθειογενούς επιφάνειας είναι κάθετες στον άξονα της οδού και αποτελούν τις v-παραμετρικές καμπύλες της επιφάνειας της οδού. Μάλιστα, οι γεννέτειρες της επιφάνειας αποτελούν και γεωδαισιακές γραμμές της επιφάνειας, ενώ η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ κάθε γεννέτειρας και του οριζόντιου επιπέδου, ισούται με την επίκλιση της οδού. Προφανώς, για τον ορισμό της επιφάνειας, πρέπει προηγουμένως να είναι γνωστό το πλάτος της οδού, αλλά και η επίκλισή της. Τελικά, όλοι οι αλγόριθμοι-προγράμματα που χρειάζονται για τη λειτουργία αυτού του μαθηματικού μοντέλου, εισάγονται σε ένα γενικευμένο πρόγραμμα. Έτσι, η χάραξη μίας οδού μπορεί να γίνει με αντικειμενικό τρόπο, δηλαδή χωρίς την υποκειμενικότητα που υπεισέρχεται από την ικανότητα και την εμπειρία του κάθε μελετητή, με το πάτημα ενός κουμπιού και σε πολύ σύντομο χρονικό διάστημα.

Λέξεις κλειδιά: τρισδιάστατη χάραξη, καμπύλες B-Spline , καμπυλότητα, γεωδαισιακή καμπυλότητα, κάθετη καμπυλότητα, στρέψη, κυρτές καμπύλες, κοίλες καμπύλες, κατά μήκος κλίση, επίκλιση, μετασχηματισμός στερεού σώματος, μετασχηματισμός του Προκρούστη, βασική καμπύλη, γεννέτειρες, ευθειογενής επιφάνεια, οριζόντια επιφάνεια, επιφάνεια μεταβλητής επίκλισης, καμπυλότητα του Gauss, μέση καμπυλότητα.

The object of this thesis is to develop a mathematical model that allows the three dimensional alignment of a road. By the achievement of this, the study of horizontal and vertical alignment in a seperate manner, is no longer necessary, since the analysis is done directly, in three dimensional space. The study is performed using the software Mathematica . The purpose of this study is initially, the mathematical perfection (theoretically) of the model that was constructed, afterwards the implementation of all functions in code through the programming language offered by Mathematica (based on C++ ) and finally the application of the model on a real road through a case study. For the mathematical model documentation, all the required aspects that refer to the study of curves and surfaces from the field of differential geometry were used. In the final implementation, the curves used to define the axis of the road, are the interpolation B-Spline curves (piecewise Bezier curves). Essentially, a temporary axis of the road is defined (first approach of the road) and afterwards it is modified. The modification of the first approach of the axis of the road, mainly depends on the limits placed on the curvature and slope along the road. Notably curvature is split in two components that are not other than the geodesic curvature and the normal curvature. Regarding the geodesic curvature, it corresponds differentially to the horizontal curvature, in the broadest sense. In other words, the geodesic curvature, corresponds to the curvature that a curve would have, if it was projected to a plane ‘’tangential‘’ to the surface it lies on. Thus, the numerical value (positive or negative) of the geodesic curvature is calculated as the arithmetic progection of the curvature vector to a unit normal vector of the curve that is parallel to the horizon. As far as the normal curvature is concerned, a different limit is imposed to the positive normal curvature compared to the limit that is imposed to the negative normal curvature. Specifically, the positive normal curvature corresponds to vertical curves over crests, while the negative normal curvature corresponding to vertical curves in sags. The arithmetic value (positive or negative) of the normal curvature is calculated as the arithmetic projection of the curvature vector to unit normal vector of the curve. The unit normal vector of the curve is defined as the result of the outer product of the unit tangent vector and the unit normal vector of the curve that is parallel to the horizon. The form of the axis of the road is determined ultimately by the curvature and the torsion of the curve (fundamental theorem of curves), while the correct determination in space is achieved by the Procrustes rigid body transformation. For the definition of the surface of the road, a ruled surface is implemented whose base curve or directrix is the final B-Spline curve, which corresponds to the axis of the road. The axis of the road along with all those curves that are parallel to the axis and extend across it at a distance up to half the width of the road, are the u-parametric curves of the surface of the road. The rulings of the ruled surface are perpendicular to the axis of the road and are the v-parametric curves of the surface of the road. Indeed, the rulings of the surface are also geodesics of the surface, and the angle formed between each ruling and the horizontal plane, is equal to the superelevation of the road. Obviously, to define the surface, the width of the road and its superelevation must be known. Eventually, all the algorithms-programs needed for the operation of this mathematical model, are inputed in a generalized program. Thus, the alignment of a road can be viaccomplished in an objective manner, without the subjectivity that takes under consideration the ability and experience of each scholar, at the touch of a button and in a very short time.

Keywords : three dimensional alignment, B-Spline curves, curvature, geodesic curvature, normal curvature, torsion, vertical curves over crests, vertical curves over sags, slope, superelevation, rigid body transformation, Procrustes transformation, directrix curve, base curve, rulings, ruled surface, horizontal surface, surface of changing superelevation, Gaussian curvature, mean curvature