Οι συναρτήσεις Bessel, Legendre και Hermite

Abstract

Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η μελέτη των βασικότερων ειδικών συναρτήσεων, της Bessel, της Legendre και της Hermite. Σε κάθε συνάρτηση θα αφιερώνεται και από ένα κεφάλαιο. Στην πρώτη παράγραφο του πρώτου κεφαλαίου αναφέρεται η εξίσωση Bessel και βρίσκονται αναλυτικά οι λύσεις της που αποτελούν και τις συναρτήσεις Bessel τις οποίες και θα μελετήσουμε. Στη δεύτερη παράγραφο παρουσιάζονται οι ιδιότητες των συναρτήσεων Bessel· μια από τις πιο βασικές ιδιότητες είναι η ορθογωνιότητα, γιατί χωρίς αυτή δεν θα είχαμε τις σειρές Fourier-Bessel, οι οποίες χρειάζονται στις εφαρμογές. Τέλος αναφέρεται μια εφαρμογή, το πρόβλημα Diriclet σε κύλινδρο, όπου χρησιμοποιούνται οι σειρές Fourier-Bessel. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναφέρεται η διαφορική εξίσωση Legendre και βρίσκονται τα πολυώνυμα Legendre, που αποτελούν και τις λύσεις της. Στη δεύτερη παράγραφο παρουσιάζονται οι ιδιότητες των πολυωνύμων Legendre· μία από τις βασικότερες ιδιότητες είναι και πάλι η ορθογωνιότητα, που χρειάζεται για να αναπτυχθεί μία συνάρτηση σε σειρά Legendre, η οποία είναι χρήσιμη για τις εφαρμογές. Στη τρίτη παράγραφο εξετάζεται μία εφαρμογή, το πρόβλημα Diriclet σε σφαίρα (συμμετρική περίπτωση). Το τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο αναφέρεται στη συνάρτηση Hermite. Ξεκινώντας από τη διαφορική εξίσωση Hermite καταλήγουμε στα πολυώνυμα Hermite, που αποτελούν και τις λύσεις της. Στη δεύτερη παράγραφο παρουσιάζονται οι ιδιότητες των συναρτήσεων Hermite. Τέλος θα εξετάσουμε μία εφαρμογή από την κβαντομηχανική, τον κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή, από τη μελέτη του οποίου προκύπτει η εξίσωση του Schrödinger την οποία και θα επιλύσουμε.

The purpose of this thesis is the study othe basic special functions the Bessel, the Legendre and the Hermite.We have a special chapter for each function .For each function we find her solutions, we mention her properties, and we write an aplication.