Ευστάθεια αυτόνομων και χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων

Abstract

Σε αυτή τη διπλωματική μελετάται η Αστάθεια και Ευστάθεια των σημείων ισορροπίας στα αυτόνομα συστήματα, διατυπώνεται το Θεώρημα Barbashin – Krasovskii και δίνονται οι Ικανές Συνθήκες της Αστάθειας. Παρουσιάζεται μια επέκταση της θεωρίας βάσει του θεωρήματος La Salle. Ασχολούμαστε με την ευστάθεια γραμμικών αυτόνομων συστημάτων και εκμεταλλευόμαστε τ’ αποτελέσματα ώστε να εξάγουμε μέσω της γραμμικοποίησης ικανές συνθήκες για την ευστάθεια αυτόνομων μη γραμμικών συστημάτων. Επεκτείνουμε την θεωρία Lyapunov σε μη αυτόνομα συστήματα και εφαρμόζουμε τη μέθοδο Lyapunov για την ομοιόμορφη ασυμπτωτική ευστάθεια και την εκθετική ευστάθεια. Ασχολούμαστε με την ευστάθεια των χρονικά μεταβαλλόμενων γραμμικών συστημάτων και εκμεταλλευόμαστε τ’ αποτελέσματα ώστε να εξάγουμε μέσω της γραμμικοποίησης ικανές συνθήκες για την ευστάθεια των χρονικά μεταβαλλόμενων μη γραμμικών συστημάτων. Παρουσιάζουμε τα δυο αντίστροφα θεωρήματα Lyapunov. Τέλος, παραθέτονται επεκτάσεις στην περίπτωση των Χρονικά Μεταβαλλόμενων Συστημάτων & γίνεται σύνδεση με την έννοια της Παρατηρησιμότητας.

This dissertation studied the instability and stability of equilibria in autonomous systems, set theorem Barbashin - Krasovskii and given the sufficient conditions of instability. Presents an extension of the theory based on the theorem La Salle. We deal with the stability of linear autonomous systems and exploit the results to export through the linearization sufficient conditions for the stability of autonomous nonlinear systems. We extend the theory of Lyapunov non-autonomous systems and apply the Lyapunov method for uniform asymptotic stability and exponential stability. We deal with the stability of time-varying linear systems and exploit the results to export through the linearization sufficient conditions for stability of time-varying nonlinear systems. We present two reverse theorems Lyapunov. Finally, extensions are listed in the case of time-varying systems and is connected to the concept of observability.