Σύμμορφες απεικονίσεις και εφαρμογές σε προβλήματα συνοριακών τιμών

Abstract

H εργασία στηρίζεται στη μελέτη των σύμμορφων απεικονίσεων, μια σημαντική κατηγορία των μιγαδικών συναρτήσεων,με εφαρμογές σε προβλήματα απεικόνισης πεδίων και σε προβλήματα συνοριακών τιμών. Οι σύμμορφες απεικονίσεις αποτελούν ένα σημαντικό κλάδο των μαθηματικών με τον οποίο έχουν ασχοληθεί σπουδαίοι μαθηματικοί.Θεμελιωτής του κλάδου θεωρείται ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή ο οποίος ξεκίνησε τις δημοσιεύσεις εργασιών πάνω στο αντικείμενο στις αρχές του προηγούμενο αιώνα. Η χρησιμότητα των σύμμορφων απεικονίσεων είναι μεγάλη στον κλάδο της φυσικής και της μηχανικής (υδροδυναμική, αεροδυναμική, θεωρία ελαστικότητας κ.α),καθώς σε πολλές περιπτώσεις δίνουν απλές μεθόδους για να επιλυθούν προβλήματα συνοριακών τιμών που αφορούν στην εξίσωση Laplace.Αυτό οφείλεται στη στενή σχέση που υπάρχει μεταξύ ολόμορφων και αρμονικών συναρτήσεων. Η σπουδαιότητα των σύμμορφων απεικόνισεων έγκειται σε μία γεωμετρική ιδιότητα που έχουν: να διατηρούν τη γωνία τομής μεταξύ δύο καμπυλών κατά μέτρο και προσανατολισμό.Επίσης, η εξίσωση Laplace παραμένει αναλλοίωτη κάτω από μια σύμμορφη απεικόνιση,με αποτέλεσμα σε ένα φυσικό πρόβλημα να μπορεί να απλοποιηθεί ένα αρχικά πολύπλοκο πεδίο. Συνοψίζοντας, στην εργασία γίνεται μελέτη των σύμμορφων απεικονίσεων με τρόπο κατα τον οποίο μετασχηματίζουν διάφορα πεδία και βοηθούν στη λύση προβλημάτων συνοριακών τιμών, δίνοντας ιδιαίτερη έμφαση στον δίσκο και στο άνω ημιεπίπεδο.