Συνεισφορές στην ευκλείδεια θεωρία Ramsey

Καραμανλής, Μιλτιάδης; Karamanlis, Miltiadis

dc.contributor.author	Καραμανλής, Μιλτιάδης	el
dc.contributor.author	Karamanlis, Miltiadis	en
dc.date.accessioned	2021-11-29T10:15:23Z
dc.date.available	2021-11-29T10:15:23Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/54113
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.21811
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/gr/	*
dc.subject	Συνδυαστική	el
dc.subject	Διακριτή γεωμετρία	el
dc.subject	Θεωρία ομάδων	el
dc.subject	Θεωρία Ramsey	el
dc.subject	Ευκλείδεια Θεωρία Ramsey	el
dc.subject	Combinatorics	en
dc.subject	Discrete geometry	en
dc.subject	Ramsey Theory	en
dc.subject	Group Theory	el
dc.subject	Euglidean Ramsey Theory	el
dc.title	Συνεισφορές στην ευκλείδεια θεωρία Ramsey	el
dc.title	Contribution to euclidean Ramsey Theory	en
dc.contributor.department	Τομέας Μαθηματικών	el
heal.type	doctoralThesis
heal.classification	ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ	el
heal.classification	MATHEMATICS	en
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2021-07-01
heal.abstract	Η παρούσα διδακτορική διατριβή έχει σαν αντικείμενο μελέτης την Ευκλείδεια θεωρία Ramsey και πιο συγκεκριμένα, τα Ramsey υποσύνολα των ευκλείδειων χώρων. Ένα πεπερασμένο σύνολο $X$, το οποίο είναι υποσύνολο κάποιου ευκλείδειου χώρου $\mathbb{R}^m$ για κάποιο $m\in\mathbb{N}$, λέγεται Ramsey, αν για κάθε αριθμό χρωμάτων $r\in\mathbb{N}$, υπάρχει μια αρκετά μεγάλη διάσταση $N\in\mathbb{N}$, η οποία είναι τέτοια, ώστε για κάθε διαμέριση του ευκλείδειου χώρου $\mathbb{R}^N$ διάστασης $N$ σε $r$ σύνολα (την οποία αποκαλούμε χρωματισμό), υπάρχει ένα ισομετρικό (ως προς την ευκλείδεια νόρμα) αντίγραφο του $X$, το οποίο είναι μονοχρωματικό (περιέχεται σε ένα στοιχείο της διαμέρισης). {\bfseries Στην Εισαγωγή}, αφού κάνουμε μια αναφορά στο θεμελιώδες θεώρημα του Frank Plumpton Ramsey, στην συνέχεια εξετάζουμε κάποια αποτελέσματα από την εργασία του 1973 ``Euclidean Ramsey Theorems I'' όπου ορίστηκαν για πρώτη φορά τα Ramsey σύνολα και από την οποία ουσιαστικά γεννήθηκε η Ευκλείδεια θεωρία Ramsey. Συγκεκριμένα, βλέπουμε τα πρώτα παραδείγματα Ramsey συνόλων, όπως για παράδειγμα το σύνολο των κορυφών ενός κανονικού simplex και τα πρώτα αντιπαραδείγματα, όπως κάθε σύνολο τριών συνευθειακών σημείων. Στην συνέχεια, αναφέρουμε τα θεμελιώδη δομικά χαρακτηριστικά των Ramsey συνόλων, δηλαδή ότι το καρτεσιανό γινόμενο Ramsey συνόλων είναι Ramsey και ότι κάθε Ramsey σύνολο είναι υποσύνολο της επιφάνειας μιας σφαίρας. Ύστερα, αναφέρουμε (σχεδόν) όλα τα αποτελέσματα από τα οποία προέκυψαν νέες κλάσεις Ramsey συνόλων, σκιαγραφώντας κάποιες από τις αποδείξεις. Τα πιο σημαντικά αποτελέσματα όσον αφορά το πρόβλημα του χαρακτηρισμού των Ramsey συνόλων είναι τα εξής. Το πρώτο είναι αυτό των Frankl και R\"{o}dl οι οποίοι το 1990 κατάφεραν να δείξουν ότι κάθε simplex, δηλαδή κάθε πεπερασμένο αφινικά ανεξάρτητο σύνολο, είναι Ramsey. Το δεύτερο και σημαντικότερο, το οφείλουμε στον Igor K\v{r}\'i\v{z}, ο οποίος το 1991 απέδειξε ότι κάθε πεπερασμένο transitive ευκλείδειο σύνολο, για το οποίο υπάρχει μία επιλύσιμη ομάδα συμμετριών, με το πολύ δύο τροχιές, είναι Ramsey. Σαν άμεσο πόρισμα τα κανονικά πολύγωνα και τα σύνολα κορυφών όλων των πλατωνικών στερεών είναι Ramsey. Στην συνέχεια, περνάμε στην περιγραφή των αποτελεσμάτων που προέκυψαν κατά την διάρκεια αυτής της διατριβής. Οδηγούμενοι από την διαφαινόμενη εφαρμοστικότητα του θεωρήματος του K\v{r}\'i\v{z}, αναρωτιόμαστε αν το θεώρημα των Frankl και R\"{o}dl για τα simplices μπορεί να προκύψει από το αποτέλεσμα του K\v{r}\'i\v{z}. Απαντάμε καταφατικά, δείχνοντας ότι κάθε simplex μπορεί να εμφυτευτεί ισομετρικά σε έναν κανονικό πολυγωνικό τόρο, που δεν είναι τίποτα άλλο, από το καρτεσιανό γινόμενο ενός πεπερασμένου αριθμού κανονικών πολυγώνων. Υπάρχουν δύο διαδεδομένες εικασίες όσον αφορά τα Ramsey σύνολα. Η πρώτη, του Graham, υποστηρίζει ότι όλα τα σφαιρικά σύνολα είναι Ramsey. Η δεύτερη και πιο πρόσφατη, από τους Leader, Russell και Walters λέει ότι τα Ramsey σύνολα είναι ακριβώς αυτά που εμφυτεύονται σε κάποιο transitive σύνολο. Οι τελευταίοι, σε μια σειρά από ισοδύναμες εικασίες, εξέφρασαν μια ικανή συνθήκη ώστε όλα τα transitive σύνολα να είναι Ramsey, μετασχηματίζοντας το πρόβλημα σε καθαρά συνδυαστικό. Οι εικασίες αυτές, προσομοιάζουν το γνωστό αποτέλεσμα των Hales και Jewett για μεταβλητές λέξεις και μια από αυτές αφορά μια ιδιότητα που πρέπει να έχει κάθε πεπερασμένη ομάδα. Αφού δώσουμε κατάλληλους ορισμούς, διατυπώνουμε κάποια σχετικά αποτελέσματα που αφορούν γενικές δράσεις επιλύσιμων ομάδων, από τα οποία προκύπτει μια ισχυρότερη μορφή της αντίστοιχης εικασίας των LRW και μια εκλέπτυνση των αποτελεσμάτων του K\v{r}\'i\v{z}. {\bfseries Στα επόμενα δύο κεφάλαια} παρουσιάζουμε τις αποδείξεις των αποτελεσμάτων μας. Για τα simplices, πρώτα δείχνουμε ότι κάθε ``σχεδόν κανονικό'' simplex, εμφυτεύεται ισομετρικά σε έναν κανονικό πολυγωνικό τόρο. Στην συνέχεια, δείχνουμε ότι κάθε πεπερασμένο σύνολο, είναι αυθαίρετα κοντά σε ένα υποσύνολο ενός κανονικού πολυγωνικού τόρου. Τέλος, με την βοήθεια ενός χαρακτηρισμού των πεπερασμένων μετρικών χώρων που εμφυτεύονται ισομετρικά σε κάποιο Ευκλείδειο χώρο, ``σπάμε'' το simplex, σε μέρη που εμφυτεύονται σε κάποιο πολυγωνικό τόρο και ολοκληρώνουμε την απόδειξη. Για τα αποτελέσματα ``τύπου'' Hales-Jewett, προσαρμόζουμε ένα γνωστό λήμμα του Shelah στις ανάγκες της απόδειξης και με τεχνικές της σχετικής θεωρίας, εκμεταλλευόμαστε ένα συνδυαστικό επιχείρημα του K\v{r}\'i\v{z} χρησιμοποιώντας το ως αρχή του περιστερώνα, για να φτάσουμε στο ζητούμενο. {\bfseries Στα τελευταία κεφάλαια}, αναφέρουμε λίγα πράγματα επιπλέον για μια άλλη από τις ισοδύναμες εικασίες των LRW, που δεν αφορά πεπερασμένες ομάδες και για την οποία απέδειξαν την εικασία τους σε μια πολύ συγκεκριμένη περίπτωση. Στην συνέχεια, δείχνουμε ότι για τα ευκλείδεια σύνολα για τα οποία προκύπτει ότι είναι Ramsey μέσω των αποτελεσμάτων των LRW, υπάρχει εναλλακτική απόδειξη μέσω του θεωρήματος του K\v{r}\'i\v{z} και καταλήγουμε στο συμπέρασμα, ότι όλα τα μέχρι σήμερα γνωστά Ramsey σύνολα, έπονται ως τέτοια από το θεώρημα του K\v{r}\'i\v{z}. Κλείνουμε αυτή την εργασία κάνοντας μια αφελή εικασία για τα transitive ευκλείδεια σύνολα και προτείνοντας κάποιες πιθανές κατευθύνσεις της σχετικής έρευνας.	el
heal.abstract	The subject of this PhD dissertation thesis, is Euclidean Ramsey theory and more specifically the problem of characterization of Ramsey sets. A finite subset $Χ$ of some Euclidean space $\mathbb{R}^n$ for some $n\in\mathbb{N}$ is Ramsey, if for every number of colors $r\in\mathbb{N}$ there exists a large enough dimension $N\in\mathbb{N}$, such that, for every coloring of $\mathbb{R}^N$ we can find a monochromatic congruent copy of $X$. {\bfseries In the Introduction}, we start by exploring the wealth of the results and new objects of study that where stated in the work titled ``Euclidean Ramsey Theorem I'', which is considered the seminal paper for the new theory. We explore the simplest of Ramsey sets, like the regular simplex in any dimension and we see that no three co-linear points are Ramsey. Then we discuss some of the structural properties of Ramsey sets, for example we see that the finite products of Ramsey sets are Ramsey and that every Ramsey set must be spherical. Continuing our discussion, we list all known Ramsey sets, together with rough sketches for some of the proofs. The most significant results concerning the subject of characterizing Ramsey sets are two. The first is due to Frankl and R\"{o}dl, who in 1990 proved that any simplex is Ramsey. The second we owe it to K\v{r}\'i\v{z}, who in 1991 proved that, every transitive set with a solvable group of isometries with at most two orbits, is Ramsey. This, gives as a corollary that regular polygons and vertex sets of all platonic solids are Ramsey. Starting with our results, we describe how the apparent generality of K\v{r}\'i\v{z}'s theorem led us to wonder if Frankl's and R\"{o}dl's theorem about simplices can be induced in a similar fashion. We answer affirmatively this question, by showing that any simplex can be embedded into a regular polygonal torus, that is, the cartesian product of finitely many regular polygons. Afterwards, we discuss the two rival conjectures about Ramsey sets, the one due to Graham which says that all spherical sets are Ramsey, and the other due to Leader, Russell and Walters which say that Ramsey sets are exactly the sets that embed into some transitive set. The later group, have shown that the sufficient part of their conjecture, corresponds to a series of equivalent conjectures, which are striped from geometry and resemble the famous theorem of Hales and Jewett. One of these conjectures is a statement about a property that all finite groups must have. After we give necessary definitions, we state two results concerning solvable groups and general actions from solvable groups, that confirm LRW conjecture in a stronger form for the case of solvable groups. Furthermore, we recover refined versions of all of K\v{r}\'i\v{z} results. {\bfseries During the next chapters}, we present our proofs. For the simplices, first we show that all ``almost regular'' simplices embed into some regular polygonal torus. Then we show that regular polygonal tori, are in a specific sense ``dense''. Finally with the help of a theorem which characterizes finite metric spaces that embed into some Euclidean space, we first break any simplex into one almost regular part and another which also embeds into a regular polygonal torus completing the proof. For the Hales-Jewett type results, we modify a well known lemma due to Shelah, and with techniques from Ramsey theory for product spaces combined with a combinatorial argument due to K\v{r}\'i\v{z} we manage to prove the stated results. {\bfseries In the last chapters}, we mention some more things about another of the equivalent conjectures made by LRW. Their proof about a special case of this conjecture produces some new Ramsey sets. We then go and prove, that all these new Ramsey sets can be also obtained from K\v{r}\'i\v{z} results, by embedding them into a transitive set with a solvable group of isometries. We conclude with the remark, that until now, all known Ramsey sets, can be shown to be so using K\v{r}\'i\v{z} theorem.	en
heal.sponsor	This work was partially funded from the Special Account for Research Funding (E.L.K.E.) of National Technical University of Athens (N.T.U.A.)	en
heal.advisorName	Κανελλόπουλος, Βασίλειος	el
heal.committeeMemberName	Δοδός, Παντελής	el
heal.committeeMemberName	Ψαρράκος, Παναγιώτης	el
heal.committeeMemberName	Αρβανιτάκης, Αλέξανδρος	el
heal.committeeMemberName	Γάσπαρης, Ιωάννης	el
heal.committeeMemberName	Γρηγοριάδης, Βασίλειος	el
heal.committeeMemberName	Τύρος, Κωνσταντίνος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	79 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false