Συνεχή κλάσματα και πραγματικοί αριθμοί: προσεγγίσεις και εφαρμογές

Abstract

Η παρούσα διπλωματική έχει ως στόχο να παρουσιάσει την θεωρία των απλών συνεχών κλασμάτων. Μελετάται η ανάπτυξη ρητών και άρρητων αριθμών σε συνεχή κλάσματα και το περίφημο θεώρημα Lagrange. Επίσης, αναλύεται η θεωρία προσέγγισης άρρητων από συγκλίνοντες ρητούς και παρουσιάζεται το θεώρημα Hurwitz.Τέλος, παρατίθεται η γενική θεωρία των διοφαντικών εξισώσεων και επικεντρωνόμαστε στην επίλυση της εξίσωσης Pell.

The purpose of this dissertation is to present the theory of simple continued fractions.The development of rational and irrational numbers to continued fractions is studied as well as the famous Lagrange theorem. Further, the theory of approximating irrational numbers with rational converging numbers is analyzed and the Hurwitz theorem is presented. Finally, the general theory of diophantine equations is quoted and we focus on solving the Pell equation.