Αριθμητικές Μέθοδοι στις Παραβολικές Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Abstract

Μελέτη της εξίσωσης της θερμότητας στη μία και στις δύο διαστάσεις και εκτιμήσεις σφαλμάτων που προκύπτουν από τις αριθμητικές προσεγγιστικές λύσεις της εξίσωσης της θερμότητας. Βασικά θεωρήματα και ορισμοί για τους χώρους Hilbert. Μελέτη παραβολικών εξισώσεων. Χρήση μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων (Galerkin) για την προς τα πίσω μέθοδο Euler και για τη μέθοδο Crank-Nicolson, μέθοδος πεπερασμένων διαφορών και χωροχρονική μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων. Υπολογιστικά παραδείγματα και εκτίμηση σφαλμάτων στις L2 και H1 νόρμες με χρήση αλγορίθμου στο MATLAB(μονοδιάστατη περίπτωση) και στο λογισμικό FreeFem++(δισδιάστατη περίπτωση). Γραφήματα της θερμότητας για διαφορετικά χωροχρονικά βήματα.

Study of the heat equation in one and two dimensions and error estimates resulting from the approximate numerical solution of the heat equation. Basic definitions and theorems for Hilbert spaces. Study of the parabolic equations. Use of finite elements method (Galerkin) for the backward Euler method and the Crank-Nicolson method, finite differences and space-time finite elements method. Computational examples and error estimates in L2 and H1 norms using MATLAB (1D case) and software FreeFem + + (2D case). Graphs of heat for different space and time steps.