Θεωρία αριθμών με εφαρμογές στην Κρυπτογραφία

Abstract

Η Θεωρία Αριθμών είναι ο κλάδος των Μαθηματικών που ασχολείται με τις ιδιότητες των ακέραιων αριθμών, καθώς και με τα προβλήματα που προκύπτουν από τη μελέτη αυτή. Ο σκοπός αυτής της διπλωματικής

εργασίας είναι μια συνοπτική μελέτη της Θεωρίας Αριθμών, κυρίως μέσω της κατανομής των πρώτων, με

εφαρμογές στην Κρυπτογραφία. Ξεκινώντας το πρώτο κεφάλαιο περιέχει τη Βασική Θεωρία Αριθμών και συγκεκριμένα: το Θεμελιώδες Θεώρηματης Αριθμητικής, τον Αλγόριθμο της Διαίρεσης, τη Θεωρία Ισοτιμιών και κάποιες βασικές αριθμητικές συναρτήσεις. Στη συνέχεια το δεύτερο κεφάλαιο αναφέρεται στην απειρία των πρώτων. Ξεκινά με το θεώρημα του Ευκλείδη για την ύπαρξη άπειρων πρώτων αριθμών. Ακολουθούν το θεώρημα του Dirichlet, το Αίτημα του Bertrand και άλλες δύο παράγραφοι για τους δίδυμους πρώτους και την Εικασία του Goldbach. Έπειτα γίνεται μια εισαγωγή στην Αναλυτική Θεωρία Αριθμών. Αναφέρεται το Θεώρημα των Πρώτων Αριθμών και δίνεται μια σκιαγράφηση της στοιχειώδους απόδειξής του από τους Erdos και Selberg. Ακόμα παρουσιάζονται αρκετές ισοδύναμες μορφές του Θεωρήματος των Πρώτων Αριθμών. Τέλος, στην Κρυπτογραφία μελετάμε θεμελιώδεις μεθόδους και βασικούς αλγορίθμους σχετικά με την Πιστοποίηση Πρώτων Αριθμών (αλγόριθμοι Fermat, Miller-Rabin και Solovay-Strassen) και την Παραγοντοποίηση Ακεραίων σε Πρώτους Παράγοντες (αλγόριθμοι του Dixon και p-1 του Pollard).