Αλγόριθμοι παραγοντοποίσης και πιστοποίησης πρώτων αριθμών

Abstract

Αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη αλγορίθμων πιστοποίησης πρώτων και παραγοντοποίσης . Η ανάπτυξη του θέματος πραγματοποιείται σε τρία κεφάλαια.Στο πρώτο κεφάλαιο παρατίθονται βασικά θεωρήματα που μας βοηθάνε να ελένξουμε αν ένας ακέραιος n είναι πρώτος καθώς και βασικά στοιχεία από την θεωρία αριθμών όπως οι γραμμικές ισοδυναμίες οι ισοδυναμίες δευτέρου βαθμού τα τετραγωνικά υπόλοιπα και οι πρωταρχικές ρίζες. Στο δέυτερο κεφάλαιο γίνεται παρουσίαση των βασικών αλγόριθμων που χρησιμοποιούνται για την πιστοποίηση πρώτων. Γίνεται αναφορά στο θεώρημα του Fermat, στον αλγορίθμο του Fermat και στο επαναληπτικό κριτήριο του Fermat. Στην συνέχεια γίνεται εκτενή αναφορά στο κριτήριο του Miller Rabin και Soloway- Strassen, στον αλγορίθμο Miller Rabin και στον αλγορίθμο Soloway –Strassen. Στο τρίτο κεφάλαιο παρατίθονται η μέθοδος παραγοντοποίησης του Fermat και του Εuler και στην συνέχεια γίνεται αναφορά στον αλγόριθμο παραγοντοποίησης του Dixon και τον αλγόριθμο p-1 του John Pollard.

The scope of this dissertation is the study of the prime factorization and the identification of prime numbers. The aim is to present and understand the algorithms used for the identification of primes and analyze the basics of prime factorization. The dissertation is structured to three chapters. The first chapter presents the basic theorems used to determine whether a number n is a prime or not. Additionally the basics from the number theory like linear congruence, second-degree congruence, quadratic residues as well as primitive roots are referenced. The second chapter cites the basic algorithms that are used for prime numbers identification. The Fermat theorem is presented focused on the Fermat algorithm and the repetitive criteria. Extensive reference is made to Soloway-Strassen and Miller- Rabin primality test and especially to the Miller-Rabin and Soloway-Strassen algorithms. Finally, the last chapter is about prime factorization algorithms. Fermat and Euler’s algorithms are studied as well as Dixon’s factorization algorithm and John Polland's p-1 algorithm