Interior penalty discontinuous Galerkin and continuous interior penalty finite element methods for boundary value problems of strain gradient elasticity as well as of plate theory

Abstract

Η συγκεκριμένη διδακτορική διατριβή πραγματεύεται την ανάπτυξη της h- και της hp-εκδοχής των ασυνεχών Galerkin μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων εσωτερικής ποινής για τα προβλήματα συνοριακών τιμών της θεωρίας βαθμίδας της παραμόρφωσης, καθώς και της θεωρίας των πλακών. Επιπλέον, πραγματεύεται τον σχεδιασμό της h- και της hp-εκδοχής της συνεχούς μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων εσωτερικής ποινής για τα μονοδιάστατα προβλήματα συνοριακών τιμών της θεωρίας βαθμίδας της παραμόρφωσης. Γενικά, η συγκεκριμένη ερευνητική προσπάθεια επικεντρώνεται στη διεξαγωγή ανάλυσης σφάλματος είτε εκ των προτέρων για προβλήματα μίας διάστασης είτε εκ των υστέρων για προβλήματα υψηλότερης διάστασης. Γι' αυτόν τον λόγο, παρουσιάζουμε όλους τους απαραίτητους ορισμούς, καθώς και τα μαθηματικά εργαλεία, των χώρων συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται σε αυτές τις μεθόδους, ήτοι τους επονομαζόμενους χώρους Sobolev και τους αντίστοιχους χώρους πεπερασμένων στοιχείων, επίσης.

This dissertation revolves around the development of both h- and hp-version interior penalty discontinuous Galerkin finite element methods for boundary value problems of strain gradient elasticity and of plate theory. It also engages with the design of h- and hp- version continuous interior penalty finite element method for one-dimensional boundary value problems of strain gradient elasticity. Overall, this research endeavor focuses on conducting either a priori error analysis for one-dimensional problems or a posteriori error analysis for higher dimensional problems. To that end, a functional, analytic framework is presented employing broken Sobolev spaces as well as corresponding finite element spaces for the above methods.