Πιστοποίηση και Παραγοντοποίηση Πρώτων Αριθμών

Abstract

Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται τη μελέτη αλγορίθμων πιστοποίησης και παραγοντοποίησης πρώτων αριθμών. Ξεκινώντας, το πρώτο κεφάλαιο περιλαμβάνει βασικά θεωρήματα και στοιχεία από τη θεωρία αριθμών όπως το Θεώρημα του Lucas, οι γραμμικές ισοδυναμίες, οι ισοδυναμίες δευτέρου βαθμού, τα τετραγωνικά υπόλοιπα και οι πρωταρχικές ρίζες. Εν συνεχεία, στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται παρουσίαση των βασικών αλγόριθμων που χρησιμοποιούνται για την πιστοποίηση πρώτων. Γίνεται αναφορά στο κόσκινο του Ερατοσθένη και στο κριτήριο του Fermat. Επίσης, αναλύονται τα κριτήρια Miller - Rabin και Solovay-Strassen. Το τρίτο κεφάλαιο αφορά την παραγοντοποίηση ακεραίων. Παρατίθενται συνοπτικά η μέθοδος των διαδοχικών διαιρέσεων, η μέθοδος του Fermat και η μέθοδος του Euler, ενώ αναπτύσσονται ο αλγόριθμος p-1 του John Pollard (1974) και ο αλγόριθμος Pollard Rho.

This thesis deals with the study of certification and factorization algorithms of prime numbers. The first chapter includes basic theorems from the theory of numbers such as theorem Lucas, linear equations, the equivalence quadratic, the quadratic residues and primary roots. Subsequently, in the second chapter we present the basic algorithms used for certification first. The sieve of Eratosthenes is mentioned as well as and the criterion of Fermat. Also the criteria Miller - Rabin and Solovay-Strassen are included. The third chapter covers the integer factorization. Initially, the method of successive divisions is mentioned, Fermat's method and the method of Euler. Finally the thesis is concluded with the analysis of the p-1 algorithm of John Pollard (1974) and the algorithm Pollard Rho.